Les quatre opérations – Débutant
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Quel âge avez-vous,
madame? – Eh bien, je compte: je me suis marié à 20
ans, mon mari en avait 30. Il en a
maintenant le double, j'ai donc 40 ans.
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Voir Pensées
& humour
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MULTIPLICATION
Comment aborder les multiplications en aiguisant son
esprit ?
La multiplication
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La multiplication =
addition répétitive
10
x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 +
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 (10 fois)
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Une histoire de paquets:
chacun contenant
tous le même nombre (n) d'objets
on prend une
certaine quantité (q) de paquets.
L'opération de multiplication,
consiste à trouver la quantité totale d'objets: P = q x n
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Le résultat P est
nommé le PRODUIT.
 
Comme il est possible de multiplier dans un sens comme
dans l'autre (2 x 8 = 8 x 2), inutile de s'embarrasser avec les mots multiplicande
et multiplicateur,
utilisez le mot facteur. Voir Puristes
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Voir
Les quatre opérations – Junior
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Sauriez-vous
faire cette opération? Multipliez tous les chiffres du clavier de votre
téléphone. Quel est le résultat?
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Un
nombre appelé N, car encore inconnu. Multiplié par 2, c'est un nombre à deux
chiffres; multiplié par 3 c'est un nombre à trois chiffres. Qui est N?
Sont-ils plusieurs à partager cette propriété?
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Le saviez-vous?
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Vous
savez multiplier par 2, alors vous savez faire toutes les multiplications,
même les plus compliquées; pas besoin de table! >>>
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On peut dire aussi:
Quatre rangées
de trois enfants, c'est 12 enfants (4
x 3 = 12)
ou aussi:
Trois colonnes de quatre
enfants, c'est 12 enfants (3 x 4 = 12). |
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Je dispose de 8 carrés. Combien puis-je former de rectangles avec ces carrés en les posant l'un à côté de l'autre, sans superposition ?  Autant de fois que
je peux diviser 8 par un nombre:
8/1 = 8
8/2 = 4
8/4 = 1
8/1 = 8
soit 4
rectangles.
Nous avons créé quatre multiplications qui donnent le même
résultat.
Je dispose de 12 carrés.Combien puis-je former de rectangles avec ces carrés en les posant l'un à côté de l'autre, sans superposition ?  Autant de fois que
je peux diviser 12 par un nombre:
12/1 = 12
12/2 =
6
12/3 =
4
12/4 =
3
12/6 =
2
12/1 = 12
soit 6
rectangles.
Nous avons créé six
multiplications qui donnent le même résultat.
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Nous venons d'apprendre que
plusieurs
multiplications peuvent donner le même résultat
2 x 6
= 3 x 4 = 12
l'ordre
des termes de la multiplication est sans importance
3 x 4
= 4 x 3
De plus, nous constatons que
multiplication
et division sont les deux faces de la même opération
3 x 4
= 12 et 12 / 4 = 3
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Ma
petite-fille (10 ans) me pose une colle: Papy si je te dis 210, est-ce que tu
sais faire l'opération Pénélope. Je donne ma langue au chat! Facile, regarde:
210
21 x 10
21 x
5 x 2
7
x 3 x
5 x 2
14 x
3 x 5
14 x 15
210
Son
professeur des écoles a tout simplement baptisé comme cela cet exercice de
factorisation propice à s'entraîner à la table de
multiplication. Au centre, on trouve la factorisation première du nombre;
impossible de décomposer plus finement. Ces quatre nombres (2, 3, 5, 7) sont
dits: nombres premiers.
Pénélope attend
longuement le retour d'Ulysse.
Les prétendants sont nombreux tant elle est belle. Elle prétend ne pas
pouvoir donner suite tant que le voile qu'elle tisse ne sera pas terminé. Or,
elle défait la nuit ce qu'elle a tissé le jour. La toile de Pénélope est
ainsi devenue une expression pour signifier un travail laborieux mais sans
fin.
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Le
même jeu, mais avec la liberté de superposer les carrés
Je dispose de 2 carrés identiques. Combien puis-je former de rectangles ? 
On
peut former 4 rectangles en plus des 2 carrés.
Un peu plus difficile: je dispose de 3 carrés identiques. Combien
puis-je former de nouveaux carrés ?
Avec
les 3 grands carrés du départ, je forme 4 petits
carrés.
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Deux
nombres dont la somme est constante: A + B = K.
La
valeur maximale du produit P est atteinte lorsque A = B.
Exemple
Lorsque
deux champs, un carré et l'autre rectangulaire, ont le même périmètre, celui
qui couvre la plus grande surface est le champ carré.
Exemple ("l" est la largueur
inconnue du rectangle)
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Le saviez-vous ?
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Deux
seuls cas (en jaune) où les unités de la somme et celles du produit sont
identiques:
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Les parenthèses sont très importantes dans le monde
des multiplications |
(2 x
3) + 2
2 x
(3 + 2)
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=
(6) + 2 = 8
= 2 x
(5) = 10
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Notez
que
le signe " x" est omis devant une parenthèse
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2 x (3 + 2)
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= 2 (3 + 2)
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Il est important
d'effectuer les opérations à l'intérieur des
parenthèses en premier |
(1 + 2) (3 + 4) (5 + 6)
= 3 x 7
x 11 = 231
1 + (2 x 3)
+ (4 x 5) + 6
= 1 + 6 + 20 + 6 = 33
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Notez que le produit est prioritaire sur l'addition
(c'est la multiplication qui est la plus forte et qui l'emporte)
Il
est inutile de placer des parenthèses pour isoler un produit
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1 + (2 x 3) + (4 x
5) + 6
= 1 + 2 x 3 +
4 x
5 + 6
= 1 + 6 + 20 + 6 = 33
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Rappel: le produit est le résultat de la multiplication.
Comme la somme est le résultat de l'addition.
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En cas de parenthèses encastrées
(en cascade ou encore gigogne), il faut traiter en priorité les opérations les
plus profondes. |
{(1 + (8-3))
(3 + 4) + 2 x
3} (5 + 6)
= {(1 + 5)
(7) + 2 x
3} (11)
= {(6) (7)
+ 6} (11)
= {42 + 6} (11)
= {48} (11)
= 528
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En cas de nombres négatifs, agir avec les mêmes principes. En se souvenir que la règle des signes pour les produit est la suivante:
(+) (+) = (+)
(+) (-) = (-)
(-) (+) = (-)
(-) (-) = (+)
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{2 x (-4)} { 10
- 2 + 3 x 4} {(-4)(-2) – 3}
= (-8) { 8 + 12} {8 – 3}
= (-8) { 20} {5}
= - 800
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EXEMPLE
TRÈS SIMPLE pour commencer
Résultat 4
x 12 = 48
EXEMPLE
SIMPLE avec deux chiffres
Notez bien que le 24 = 20 + 4;
C'est pourquoi, il faut multiplier 12 par 20 et non seulement par 2.
Résultat 24
x 12 = 288
EXEMPLE
SIMPLE avec trois chiffres
Résultat 124
x 222 = 27 528
En jaune clair, on donne le résultat
brut de l'addition, puis en jaune foncé, la somme avec les retenues.
Notez le résultat que rien dans l'opération posée
ne laissait soupçonner.
Voir
Nombre
81 619 / Nombre 666 (de la
bête) / Carrés à
chiffres répétés
EXEMPLE avec le
calcul d'un cube qui aime les 9
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Anglais pour multiplication
posée: long multiplication
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La configuration en croix et la configuration en F sont
uniques et, curieusement, avec le chiffre 5 pour les deux.
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Quels sont les multiplications qui donnent un produit
terminé par un 0, un 1 … Les chiffres des unités sont très inégaux. Le 3 et
le 7 ne sont produits qu'une seule fois (hors la multiplication par l'unité).
Pour le 1 et le 9, ce n'est guère mieux. Ce sont les 4 et 6 qui détiennent le
record.
On note (ou on se souvient) que seul le produit de deux
nombres impairs
est impair, d'où leur rareté: 15 impairs (en jaune) contre 30 pairs.
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Un exemple
Voyez cette multiplication: 24 x 26 = 624.
Elle marche à tout coup lorsque:
 Le chiffre des
dizaines est le même, et La somme des
chiffres des unités est égale à 10.
Note: si le produit des unités ne dépasse pas 10,
placer un 0 intercalaire.
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26 x 24 = 624
Autres exemples
82 x 88 = 8 x (8+1) / 2 x 8
= 72 16
11 x 19 = 1 x 2 / 1 x 9
= 2 09
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Explications
Un nombre
à deux chiffres peut s'écrire A = 10 d + u (10 fois le chiffre des dizaines plus le chiffre des unités)
Le second
s'écrit avec le même chiffre des dizaines et son chiffre des unités est égal
à 10 – u.
Le produit
est développé puis factorisé.
Le produit
d(d+1), multiplié par 100, prend place comme nombre de centaines; le produit
u(10-u) est bien le produit des deux chiffres unités.
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A = 10d + u et
B = 10d + (10 –
u)
A.B = 100d² +
10du + 10(10–u) + u(10–u)
= 100d² + 100d + 10u – u²
= 100 d(d+1) + u(10-u)
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Cas des carrés des nombres terminés par 5
Le calcul mental des carrés en …5 est très simple.
Il peut être étendu à plus de deux
chiffres. Le calcul mental devient plus difficile, sauf pour les cas connus
comme la multiplication mentale
par 11.
Même chose pour les unités
complémentés à 10.
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25 x 25 = 2 x 3 / 5 x5
= 6 25
65 x 65 = 6 x 7 / 5 x5
= 42 25
115 x 115 = 11 x 12 / 5 x 5
= 132 25
112 x 118 = 11 x 12 / 2 x 8
= 132 16
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Quelques multiplications magiques
Notez que: 14 x 16 = 224 = 16 x 14.
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Multiplication:
opération entre deux entiers A et B qui consiste à déterminer l'entier C égal
à la somme de B termes égaux à A.
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Selon cette définition,
on écrit
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Équivalence
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5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
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5 x 3
 5 + 5 + 5
3 x 5
3 + 3 + 3 + 3 + 3 |
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La multiplication pouvant s'écrire aussi bien 5 x 3 que 3 x 5 (commutativité), la
distinction entre multiplicande et multiplicateur a peu d'intérêt. On peut
l'oublier et dire facteurs. D'ailleurs, en
pratique, pour exécuter plus facilement une multiplication, on place le plus grand facteur en haut.
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Multiplication des chiffres du clavier
Bravo!
Vous n'avez pas oublié le 0, et le produit complet est donc nul.
Sans
le 0, nous aurions eu ce qui s'appelle une factorielle:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 9!
= 362 880.
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Le nombre N inconnu
Problème
Un
nombre appelé N, car encore inconnu. Multiplié par 2, c'est un nombre à deux
chiffres; multiplié par 3 c'est un nombre à trois chiffres. Qui est N?
Sont-ils plusieurs à partager cette propriété?
Exploration
Je
choisis N = 40, par exemple.
Alors
2 x 40 = 80 (2 chiffres) et 3 x 40 = 120 (3 chiffres).
Le
nombre 40 répond à la question.
Solution
Les
nombres à deux chiffres commencent à 10 et finissent à 99.
Divisé
par 2, nous avons les limites de N: entre 5 et 49.
Les
nombres à trois chiffres commencent à 100 et finissent à 999.
Divisé
par 3, nous avons les limites de N: entre 34
et 333.
Pour
obtenir les deux conditions ensemble, il faut que N appartienne à la fois aux
deux plages. N doit commencer à 34 et finir à 49.
De
N = 34 à N = 49, il y a 16
possibilités. (Attention: 49 – 34 = 15
qui donne le nombre d'intervalles entre 49 et 34; il faut ajouter 1 pour
avoir la quantité de nombres)
En savoir plus
N
multiplié par 3 donne un nombre à trois chiffres.
N
multiplié par 4 donne un nombre à quatre chiffres.
Combien
de nombres N?
Les
limites de la plage possible sont
Pour
3: 34 à 333 et pour 4: 250 à 2498
Plage
commune: de 250 à 333, soit 333 – 250 + 1 = 84 possibilités.
Table des possibilités selon la quantité
de chiffres
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Suite
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 Multiplication
en sixième – Ce qu'il faut savoir |
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Multiplication
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Camion bien chargé
(CM2) Multiplication et son symbole (x,
point ou rien) Multiplication par 9, 99, 999 … Multiplications – Jeux Multiplications amusantes
(niveau CE2) Multiplications de tous poils – y compris les
TABLES Produit de
nombres consécutifs (factorielles tronquées) |
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Voir
|
Calcul mental – Index Débutants – Index
Jeux – Index
Théorie des
nombres – Index
|
 Table de Multiplication
– Un
site internet éducatif et ludique. Toute une gamme de jeux pour apprendre les
tables en s'amusant. La face cachée des tables
de multiplication – Vidéo de Mickaël Launay (Micmaths) |
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BASES
de l'arithmétique
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Nombres
|
MULTIPLICATIONS
|
Nombres
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|
INDEX
et
autres pages sur la multiplication
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Table 2, 5, 9
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Table 3, 4, 6,
7, 8
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Sommaire de cette page
>>> Quatre
fois trois
>>>
Multiplication avec les dominos
>>>
Approche via les partages
>>> Pour se
distraire
>>> Somme et
produit
>>>
Multiplications avec parenthèses
>>>
Multiplication – calculs en posant la multiplication
>>>
Multiplications amusantes
>>>
Multiplication vues par les unités
>>>
Multiplication magique
>>> Pour les
puristes
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